GRAAFOS ALEATÓTIOS GRACELI - INDETERMINADOS E RELATIVOS.

TEORIA GRACELI DE SISTEMAS - RAMO DA MATEMÁTICA PROPOSTO POR GRACELI.

SISTEMA ARITMÉTICO.

GEOMÉTRICO.

ALGÉRICO.

TOPOLÓGICO.

TOPOGEOMÉTRICOS GRACELI .

TOPODIMENSIONAL GRACELI.

FENOMÊNICO [DE SISTEMAS FÍSICOS, QUÍMICO, BIOLÓCIGOS, E OUTROS.

ESTRUTURAIS E MOLECULAR ESTRUTURAL.

HARMÔNICOS E HARMÔNICOS ESFÉRICOS.

ALEATÓTIOS.

DIMENSIONAIS [ESPAÇO E TEMPO], E DIMENSIONAIS E CATEGORIAIS DE GRACELI [SDCTIE , E INFINITO DIMENSIONAL, E TENSORRES DE GRACELI].

TENSORIAIS, VETORES E OUTROS.

COORDENADAS E SISTEMA DE COORDENADAS TRANSCENDENTES E RELATIVAS DE GRACELI.

Em matemática e ciência física, harmónicos esféricos são funções harmónicas que representam a variação espacial de um conjunto ortogonal de soluções da equação de Laplace, quando a solução é expressa em coordenadas esféricas.

Os harmónicos esféricos são importantes em muitas aplicações teóricas e práticas, particularmente em física atómica (uma vez que a função de onda do electrão contém harmónicos esféricos) e na teoria do potencial, tanto no campo gravitacional como na eletrostática.

Introdução

Harmónicos esféricos de variável real Ylm, para l =0,...,4 (de cima para baixo) e m = 0,...,4 (da esquerda para a direita). Os harmónicos Yl-m com m negativo são idênticos, mas com uma rotação de 90º/m em torno do eixo z em relação aos harmónicos positivos.

A equação de Laplace em coordenadas esféricas é dada por:

\nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0

(Ver também Nabla e laplaciano em coordenadas esféricas). Se nesta expressão considera-se soluções específicas da forma $f(r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\varphi )$ , a parte angular Y é chamada harmónico esférico e satisfaz a relação

{1 \over \sin \theta }{d \over d\theta }\left(\sin \theta {dY(\theta ,\varphi ) \over d\theta }\right)+{1 \over \sin ^{2}\theta }{d^{2}Y(\theta ,\varphi ) \over d\varphi ^{2}}+l(l+1)Y(\theta ,\varphi )=0

Se, por sua vez, utiliza-se o método de separação de variáveis para esta equação, pode-se ver que a equação acima admite soluções periódicas nas duas coordenadas angulares (l é um inteiro). Logo, a solução periódica do sistema anterior depende de dois inteiros (l, m) e é dada em termos de funções trigonométricas e dos polinômios associados de Legendre:

Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=N\,e^{im\varphi }\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })

Onde: $Y_{\ell }^{m}$ é chamada de função harmónica esférica de grau $\ell$ e ordem $m$ ; $P_{\ell }^{m}$ é o polinómio associado de Legendre; $N$ é uma constante de normalização; e $\theta$ e $\varphi$ representam os parâmetros angulares (respectivamente, o ângulo azimutal ou colatitude e o ângulo polar ou longitude).

As coordenadas esféricas utilizadas neste artigo são consistentes com àquelas usadas pelos físicos, mas diferem das utilizadas pelos matemáticos (ver coordenadas esféricas). Em particular, a colatitude $\theta$ , ou ângulo polar, assume valores de $0\leq \theta \leq \pi$ e a longitude $\varphi$ , ou azimute, está na faixa de $0\leq \varphi <2\pi$ . Portanto, $\theta$ é nulo no Pólo Norte, $\pi /2$ no Equador e $\pi$ no Pólo Sul.

Quando a equação de Laplace é resolvida em coordenadas esféricas, as condições de periodicidade na fronteira da coordenada $\varphi$ e as condições de regularidades nos "Pólos Norte e sul" da esfera condizem com o que foi dito que os números l e m necessários devem ser inteiros que satisfazem $\ell \geq 0$ e $|m|\leq \ell$ .